Όλα τα υλικά πρέπει να είναι σε θερμοκρασία δωματίου.
Στο μίξερ βάζουμε το αλεύρι, τη ζάχαρη, τη βανίλια και την μαγιά.
Ανακατεύουμε. Αν χρησιμοποιήσετε φρέσκια μαγιά, πρέπει πρώτα να την ενεργοποιήσετε.
Αναμειγνύουμε το γιαούρτι με το γάλα, το αλάτι, το νερό και τα αυγά.
Τα ρίχνουμε στα στερεά υλικά και ζυμώνουμε μέχρι η ζύμη να γίνει ελαστική, για 5-6 λεπτά.
Ένα-ένα και πάντα με το μίξερ σε λειτουργία, ρίχνουμε το μαλακό βούτυρο σε κομμάτια.
Η ζύμη θα είναι ελαστική και θα μοιάζει με μεγάλη τσίχλα.
Τη μαζεύουμε σε μπάλα και την αφήνουμε σε λαδωμένο μπολ σκεπασμένη να διπλασιαστεί σε όγκο.
Αυτό παίρνει από 45 λεπτά ως και δυο ώρες, ανάλογα την θερμοκρασία του χώρου.
Σε ζεστό σημείο θα φουσκώσει γρηγορότερα.
Αλευρώνουμε τον πάγκο, αδειάζουμε τη ζύμη, τη διπλώνουμε σε τέσσερα σημεία και αναποδογυρίζουμε.
Ανοίγουμε με πλάστη σε χοντρό φύλλο με πάχος 0,5 εκ.
Κόβουμε τα ντόνατς με κουπ πατ.
Βουτάμε τα κουπ πατ σε αλεύρι πριν τα βυθίσουμε στη ζύμη για να ξεκολλάνε εύκολα.
Έχουμε αραδιάσει κομμάτια αντικολλητικό χαρτί σε 2 μεγάλα ταψιά.
Βάζουμε επάνω τα ντόνατς.
Αφήνουμε να σταθούν μέσα σε σβηστό φούρνο να ξαναφουσκώσουν για 35-40 λεπτά.
Τηγανίζουμε λίγα λίγα τα ντόνατς μέχρι να ροδίσουν σε μέτρια φωτιά.
Βγάζουμε σε απορροφητικό χαρτί.